Родился 12 февраля 1945 года. Окончил Школу-студию МХАТ. Артист Московского театра-центра им. М.Н.Ермоловой. Играл в спектаклях: "Балы и страсти Петербурга", "Невольницы", "Измена", "Как любил я Вас!", "Хищница". И по сей день он остается ведущим актером этого театра.
В кино Борис Быстров дебютировал в фильме-сказке "Волшебная лампа Аладдина" (1966), снятом по мотивам сборника арабских сказок "Тысяча и одна ночь".
В этой картине начинающий актер сыграл главную роль - Аладдина. Для работы над фильмом режиссер Борис Рыцарев собрал лучших советских актеров того времени. Вместе с Быстровым снялись Георгий Милляр, Эммануил Геллер, Валентин Брылеев. Роль царевны Будур сыграла молодая актриса Додо Чоговадзе. Этот фильм вошел в "золотой фонд" советского кинематографа и по праву считается одной из лучших кинолент для детей.
После этого успеха, Борис Быстров снялся в небольших ролях еще в нескольких фильмах: спортивной киноповести "Удар! Еще удар!", детской музыкальной комедии "Приключения желтого чемоданчика" и других.
В 80-е - 90-е годы Борис Быстров снимался в кино редко. Самой заметной работой была главная роль в драме Натальи Киракозовой "Дикий пляж" (1990).
В 1997 году после долгого перерыва Борис Быстров был приглашен режиссером Юрием Музыкой на одну из главных ролей в романтическом боевике "Дезертир".
Начиная с 70-х годов и по настоящее время (уже около тридцати лет) Борис Евгеньевич работает на озвучивании мультфильмов и дубляже зарубежных художественных фильмов. Так он дублировал несколько персонажей в "Крестном отце" (1 и 2 части).
Озвучивал полнометражный анимационный фильм "Подводные береты" (1990).
В мультипликационных сериалах "Симпсоны" и "Футурама" он озвучил все мужские роли. Первой женой Бориса Быстрова была некогда популярная актриса Инна Кмит (дочь актера Леонида Кмита - знаменитого Петьки из фильма "Чапаев). Зрителям Инна Кмит известна по лирической комедии Владимира Полякова "Она Вас любит". В середине 70-х она оставила кино и ушла на телевидение. Но больное сердце не позволило ей прожить долго. Дочь Бориса Быстрова и Инны Кмит - Екатерина Кмит - тоже стала актрисой. Она снималась в картинах: "Охота на сутенера", "За последней чертой", сериале "Транзит для дьявола" и многих других. Второй женой Быстрова недолгое время была известная балерина Татьяна Лейбель. В настоящее время Борис Евгеньевич женат на актрисе Ирине Савиной. В 1990 году у них родился сын Николай. Он уже в 12 лет успел озвучить несколько фильмов. Борис Быстров рассказывает: "Бывает и так, что нужны дети, просят тогда: Дайте ребенка записать. Поэтому он тоже несколько фильмов записал с нами".

Фильмография:

1997 - Дезертир
1987 - В Крыму не всегда лето
1977 - Букет на приеме (ТВ)
1970 - Приключения желтого чемоданчика
1969 - Встреча у старой мечети
1968 - Удар! Еще удар!
1966 - Волшебная лампа Аладдина